Jawaban PTS SCHOOLOGY beserta soal dan pembahasannya

 Nama: Alfina Grinadina

 Kelas: X MIPA 2

 Absen: 6

1. Jika vektor a = (1   2   3), b = (5   4  –1), c = (4  –1   1) maka vektor a + 2b – 3c

a + 2b - 3c 

= (1,2,3) + 2(5,4,-1) - 3(4,-1,1) 

= (1,2,3) + (10,8,-2) - (12,-3,3) 

= (1+10-12 , 2+8-(-3) , 3+(-2)-3) 

= (-1,13,-2)

Jadi, (-1,13,-2) (D)  

2. Diketahui |a| = √3, |b| = 1, dan |a - b| = 1, |a + b| = 

|a - b|² = a² - 2ab + b²

           1²    = √3² - 2ab + 1² 
           1     = 3 - 2ab + 1
          2ab  = 3 + 1 - 1
          2ab  = 3
           ab   = 3/2

|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7
Jadi, nilai dari |a + b| = √7  (C)  

3. Diketahui dua vektor a=2i-3j+4k dan b=5j+5k.nilai a.b adalah

a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5  (B)

4. Diketahui la+bl=2√19, jika lal=4 dan lbl=6 maka la-bl adalah..

|a + b| = 2√19
|a + b|^2 = (2√19)^2
|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)
4^2 + 2ab + 6^2 = 76
16 + 2ab + 36 = 76
2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2
|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2
|a - b|^2 = 28
|a - b| = √28 = 2√7 (B)

5. Diketahui vektor a=2i-3J+k, b=pi+2j-k dan c=i-j+3k. jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a-b-c adalah...

b.c = 0
(p, 2, -1).(1, -1, 3) = 0
p - 2 - 3 = 0
p - 5 = 0
p = 5

Vektor a - b - c
(2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)

(2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)

(-3-1, -5+1, 2-3)
(-4, -4, -1)
- 4i - 4j - k (C) 

6. Jika sudut antra vektor a = i + √2j +pk dan b = i - √2j + pk adalah 60°, maka p = 

a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)

2p² - 2 = p² + 3

p² = 5

P² - 5 = 0

(P + √5)(p - √5) = 0

P = √5

P = - √5 (D)

7. Titik a (3, 2, -1) b (1,-2, 1) dan c(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p...

A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)
C = (7,(p - 1), -5)

Panjang AB = B - A
= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)
= (-2, -4, 2)

Panjang BC = C - B
= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)
= (6, (p + 1), -6)

cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

Misal kita ambil vektor dari sumbu x
-2 * x = 6
x = 6 / -2
 x = -3
Maka, 
-4 * x = (p + 1)
-4 * -3 = p + 1
12 = p + 1
p = 12 - 1
p = 11 (D) 

8. Diketahui titik A(3, 1, –4), B(3, –4, 6) dan C(–1, 5, 4), titik P membagi vektor AB sehingga AP : PB = 3 : 2, maka vektor yang di wakili oleh vektor PC

Diketahui

A(3, 1, –4)

B(3, –4, 6)

C(–1, 5, 4)

AP : PB = 3 : 2

maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (– 4, 7, 2) (E) 

9. panjang proyeksi orthogonal vektor a = (–2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah 8. Nilai p yang tepat adalah

 

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16 

Panjang vektor b

|b| = 

|b| =  

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

 = 8

 = 8

 = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

kedua ruas dikuadratkan 

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3 (C) 

10. diberikan vektor a = ( p,2,-1) , b = (4,-3,6) dan c = ( 2,-1,3) , jika a tegak lurus b, maka hasil dari (vektor a-2 vektor b).( 3vektor C) adalah...

a tegak lurus b = a.b = 0

p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171 (E) 

11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)
BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

     AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2
 AB : BC = 1 : 2 (A)

12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

Akarnya hilang jadi

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

= |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

= 4 |a| |b| . cos x = 0

= 0/4 |a|.|b|

= 0

cos x = 0 = 90°

Jadi, a dan b saling membentuk sudut 90° (A)

13.) Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1, -1) dan C (0, 3, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...

AB = B - A

AB = (-1 , 1 , -1) - (2 , 7 , 8)

AB = (-3, -6, -9)

AB = u

BC = C - B

BC = (0, 3, 2) - (-1, 1, -1)

BC = (1, 2, 3)

BC = v

Maka ,

Proyeksi orthogonal u pada v :

( (u . v) / |v|² ) . v

( (-3, -6, -9) . (1, 2, 3) / √(1² + 2² + 3²)² ) . (1, 2, 3)

(-3 -12-27) / 14) . (1, 2, 3)

(-42/14) . (1, 2, 3)

-3 . (1, 2, 3)

-3i - 6j - 9k (A)

14.) Jika diketahui vektor a = 2i - 3j + 6k dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus, maka nilai p adalah...

Saling tegak lurus, maka
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3 (B)

15.) Diketahui vektor a = 5i + j + 7k dan b = 3i - j + 2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

|d| = a.b/  |a |

= (2, -3, 1) . (3,1,7)

= (6, -3, 7)

= 6 i - 3j + 7k (B)

16.) Diketahui vektor a = (3, -2, 1), vektor b = (2, y, 2). Jika z projeksi a terhadap b dan vektor |z|= vektor ½ |b|, maka nilai y yang memenuhi adalah...

(3,-2,1).(2,y,2)/4+4+y²=1/2√4+4+y²

                   (6-2y+2)2=8+y²

                         16-4y=8+y²

                      y²+4y-8=0

         y=4±√16+32 / 2=-2±2√3

nilai y yang memenuhi adalah 2√3-2 atau -2-√3 (E)

17.) Misal vektor u = 9i + bj + ak dan v = ai + aj - bk. Sudut antara vektor u dan v adalah θ dengan cos  θ = 6/11. Proyeksi vektor u pada v adalah p = 4i + 4j - 2k. Nilai a adalah.....

Diketahui

 dan 

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah 

Ditanya

Nilai b?

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2 (C)

18.) Jika a = (x+1)i + xj, b = 2xi + (3x+1)j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2|a| untuk ...

x + 1 >_ 0 atau x - 2 <_ 0
x >_ -1 atau x <_ 2
{ -1 <_ x <_ 2}
Maka |p| <_ 2|a| untuk { -1 <_ x <_ 2 } (C)

Perhatikan petunjuk berikut ini

A. Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat 

B. Pernyataan benar, alasan benar, tetapi tidak mempunyai hubungan sebab akibat 

C. Pernyataan benar, alasan salah

D. Pernyataan salah, alasan benar 

E. Pernyataan dan alasan semuanya salah 

Gunakan petunjuk diatas untuk nomor 19 dan 20

19. u.v = (2(4) + (1(2) + (2(4) 

      u.v = 18

vektor u = 2i + j + 2k dan vektor v = 4i + 2j + 4k adalah vektor searah sebab Nilai u . v = 18

 Jawaban: A (Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat)

20. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A (4, 7, 0), B (6, 10, -6) dan C (1, 9, 0) merupakan segitiga siku-siku sebab Nilai AB . AC > 0

A = (4,7,0)

B = (6,10,-6)

C = (1,9,0)

AB = vektor B - vektor A

AB = (6,10,-6) - (4,7,0)

AB = (2,3,-6) > u

AC = vektor C - vektor A

AC = (1,9,0) - (4,7,0)

AC = (-3,2,0) > v

=> u • v = |u| × |v| × cosA

(2 × -3) + (3 × 2) + (-6 × 0) = √2^2 + 3^2 + (-6)^2 × √(-3)^2 + (2)^2 × cosA

-6 + 6 = 7 × √13 × cosA

0 = 7√13 × cosA

0/7√13 = cosA

0 = cosA

90° = A

jawaban: E. Pernyataan dan alasan semuanya salah