soal pertidaksamaan logaritma dan sifat-sifatnya

1.  5log 3x + 5 < 5log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.  3log (2x + 3) > 3log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5   ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  2log (5x – 16) < 6

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2log (5x – 16) < 2log 26

2log (5x – 16) < 2log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  4log (2x² + 24) > 4log (x² + 10x)

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >0

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahaan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C

7.Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{2}logx+{}^{2}log(x-1)<1$ adalah...
A.  −1 < x < 2
B.  0 < x < 1
C.  1 < x < 2
D.  1 ≤ x < 2
E.  0 < x < 2

Pembahasan :
2log x + 2log(x − 1) < 1

Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x + 2log(x − 1) < 1
2log x(x − 1) < 2log 2
x(x − 1) < 2
x2 − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2  .......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2

Jawaban : C

8.Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{\frac{1}{4}}log(x^2+3x+2)>{}^{\frac{1}{4}}log(5x+5)$ adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x2 + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x2 + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x2 + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)
x2 + 3x + 2 < 5x + 5
x2 − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E

9.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 

${}^{3}log(5-x)+{}^{3}log(1+x)<{}^{3}log(6x-10)$ adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  $\frac{5}{3}$ < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > $\frac{5}{3}$
Irisan dari syarat diatas :
$\frac{5}{3}$ < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
3log(5 − x)(1 + x) < 3log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x2 < 6x − 10
x2 + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D

10.  ^(2x - 5)log (x² + 5x) > ^(2x - 5)log (4x + 12)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan 2x - 5 > 0  

Batas ini dibagi menjadi 2, yaitu 0 < 2x - 5 < 1 dan 2x - 5 > 1, sehingga diperoleh batas - batas berikut.

Untuk  0< 2x - 5 < 1 atau 5/2 < x < 3. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3  . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) < (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 < 0

        x² + x - 12 < 0

    (x + 4)(x - 3) < 0 

       -4 < x < 3   . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Untuk  2x - 5 > 1 atau  x > 3       . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 > 0

         x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0 

x < -4 atau  x > 3        . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x < 3.